Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec^{3} (x) d x$

Etapa 1

Aplique a fórmula da redução.

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Avalie $\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{- π}{2}$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 3.1.2

Avalie $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{- π}{2}$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Etapa 3.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Etapa 3.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Etapa 3.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{2})$ é $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Etapa 3.3.1

Divida $\frac{π}{2}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7

Simplifique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Etapa 3.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.7.1.1

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Etapa 3.3.7.1.1.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.1.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.1.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.3.7.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.7.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.7.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.7.1.3.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.7.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 3.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido