Cálculo Exemplos

$\int (x^{2} + 1) e^{2 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2} + 1$ e $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x$

Etapa 2.3

Combine $2$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x$

Etapa 2.4

Combine $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ e $x$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Etapa 2.5.2

Divida $e^{2 x} x$ por $1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva $(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 11.2.3

Combine $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 11.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{2 x}}{4}$ para o numerador.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.3.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.4.2

Multiplique $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Etapa 13.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.4.2.2

Multiplique $\frac{e^{2 x}}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.5

Para escrever $- x e^{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.6

Combine $- x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.8.1

Fatore $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Etapa 13.8.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.8.1.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.9

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.11

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.12

Reescreva $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 13.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$