Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{5 x} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 4

Combine $\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 6.1.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{25} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 8

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x}} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Depois, $d u_{2} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 9.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 5} d u_{2}$

Etapa 10.2

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{5 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 12.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 1 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 12.1.3

Multiplique $\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 12.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 12.2.2

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 12.2.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 12.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Multiplique $\frac{1}{25}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{25 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 14.2.2

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{2}{75} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}} + C$