Cálculo Exemplos

$\int (4 x - 12) e^{- 8 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 4 x - 12$ e $d v = e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $e^{- 8 x}$ e $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.2

Combine $e^{- 8 x}$ e $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} \cdot 4 d x$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - 4 \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$

Etapa 2.4

Combine $- 4$ e $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- 4 e^{- 8 x}}{8} d x$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $4$ de $- 4 e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{8} d x$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 (2)} d x$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 \cdot 2} d x$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- e^{- 8 x}}{2} d x$

Etapa 2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - - \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$ por $1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{- 8 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = - 8 x$ . Depois, $d u = - 8 d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - 8 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{8} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{2 \cdot 8} \int e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Reescreva $(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ como $\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Etapa 12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 8 x$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$

Etapa 14

Combine $e^{- 8 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{e^{- 8 x}}{16} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} x e^{- 8 x} + \frac{3}{2} e^{- 8 x} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$