Cálculo Exemplos

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Etapa 10.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$