Cálculo Exemplos

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 4

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 6.3

Multiplique $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = - 2 y$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 9.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 10.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Etapa 16

Simplifique.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$