Cálculo Exemplos

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 7 x$ . Depois, $d u_{1} = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 7 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 3.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 4

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{7}$ .

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{7}$ e $2$ .

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 7

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 9.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

Etapa 10.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Etapa 13

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 x$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$