Cálculo Exemplos

$f (x) = {2.3}^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2.3$ .

$f' (x) = {2.3}^{x} \ln (2.3)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\ln (2.3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de ${2.3}^{x} \ln (2.3)$ em relação a $x$ é $\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2.3$ .

$\ln (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Etapa 2.3

Eleve $\ln (2.3)$ à potência de $1$ .

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln (2.3))$

Etapa 2.4

Eleve $\ln (2.3)$ à potência de $1$ .

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln^{1} (2.3))$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${2.3}^{x} {\ln (2.3)}^{1 + 1}$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = {2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\ln^{2} (2.3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de ${2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$ em relação a $x$ é $\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2.3$ .

$\ln^{2} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Etapa 3.3

Multiplique $\ln^{2} (2.3)$ por $\ln (2.3)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $\ln (2.3)$ .

$\ln (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\ln (2.3)$ por $\ln^{2} (2.3)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $\ln (2.3)$ à potência de $1$ .

$\ln^{1} (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\ln (2.3)}^{1 + 2} \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ .

$f''' (x) = {2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $\ln^{3} (2.3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de ${2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$ em relação a $x$ é $\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2.3$ .

$\ln^{3} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Etapa 4.3

Multiplique $\ln^{3} (2.3)$ por $\ln (2.3)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Mova $\ln (2.3)$ .

$\ln (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\ln (2.3)$ por $\ln^{3} (2.3)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Eleve $\ln (2.3)$ à potência de $1$ .

$\ln^{1} (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\ln (2.3)}^{1 + 3} \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 4.3.3

Some $1$ e $3$ .

$\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ .

$f^{4} (x) = {2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é ${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$ .

${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$