Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + 0)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2.12

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Expanda $(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.5.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.8

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.9

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.4

Subtraia $16 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.6

Expanda $(- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.7.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.7.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.7.2

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 0 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $2 x^{2} - 20 x + 16$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 16 + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.4

Some $- 20 x$ e $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Fatore $4$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 1.3.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 1.3.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{((x - 2) (x + 4))}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Aplique a regra do produto a $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ como ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ como ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$- 8 (- 3 {(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$24 ({(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} \cdot 1$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $24$ por $1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Combine $24$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ como ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 4}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$24 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$24 (- 4 {(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $24$ .

$- 96 ({(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Etapa 4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} \cdot 1$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 96 \frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Combine $- 96$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{- 96}{{(x + 4)}^{5}}$

Etapa 4.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$