Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Etapa 2.6.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2.3

Fatore $x$ de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.4.1

Combine os termos opostos em $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.8.4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x e^{x}$ e $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.1.2

Subtraia $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.1.3

Some $x (x e^{x})$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.4.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.4.2.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.3

Reordene os fatores em $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.5

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.6

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.8.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.10.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Etapa 3.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.11.2

Cancele o fator comum.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.11.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1

Combine os termos opostos em $x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x (e^{x} (2 x))$ e $x (- 2 (x e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 2 e^{x} x \cdot x - 2 e^{x} x \cdot x + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.1.2

Subtraia $2 e^{x} x \cdot x$ de $2 e^{x} x \cdot x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.1.3

Some $x (x^{2} e^{x})$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.1.4

Reorganize os fatores nos termos $x (- 2 e^{x})$ e $x (2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 2 e^{x} x + 2 e^{x} x - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.1.5

Some $- 2 e^{x} x$ e $2 e^{x} x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.1.6

Some $x (x^{2} e^{x})$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.12.4.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.12.4.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{x^{2 + 1} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Etapa 3.12.4.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Etapa 3.12.5

Reordene os termos.

$f''' (x) = \frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Etapa 3.12.6

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.5.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2} e^{x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.8

Diferencie.

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Etapa 4.8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.8.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x e^{x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.11

Diferencie.

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Etapa 4.11.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.11.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.11.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 \frac{d}{d x} e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.13.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 4.13.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.13.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.13.2.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

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Etapa 4.13.2.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.13.2.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Etapa 4.13.2.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15

Simplifique.

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Etapa 4.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.15.5.1

Combine os termos opostos em $x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})$ .

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Etapa 4.15.5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x (e^{x} (3 x^{2}))$ e $x (- 3 (x^{2} e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 3 e^{x} x^{2} x - 3 e^{x} x^{2} x + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.1.2

Subtraia $3 e^{x} x^{2} x$ de $3 e^{x} x^{2} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 0 + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.1.3

Some $x (x^{3} e^{x})$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.1.4

Reorganize os fatores nos termos $x (6 e^{x})$ e $x (- 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 6 e^{x} x - 6 e^{x} x - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.1.5

Subtraia $6 e^{x} x$ de $6 e^{x} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 0 - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.1.6

Some $x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x}))$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.15.5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.15.5.2.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.15.5.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3 + 1} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.1.3

Some $3$ e $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x (e^{x} x)) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.15.5.2.3.1

Mova $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 (x \cdot x) e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x^{2} e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x (x e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.15.5.2.6.1

Mova $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 (x \cdot x) e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.7

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 (x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.8

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 (x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.2.9

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.3

Combine os termos opostos em $x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}$ .

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Etapa 4.15.5.3.1

Some $- 6 x^{2} e^{x}$ e $6 x^{2} e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + 0 - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 4.15.5.3.2

Some $x^{4} e^{x}$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 4.15.6

Reordene os termos.

$f^{4} (x) = \frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 4.15.7

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$