Cálculo Exemplos

$2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \cos (x) + \frac{2}{2} x$

Etapa 1.3.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Etapa 1.3.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$2 \cos (x) + x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = x + 2 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Etapa 3.3

Subtraia $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x))$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x)$