Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.3

Some $1$ e $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Etapa 1.7

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4

Combine os termos.

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Etapa 1.8.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4.2.3

Some $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Etapa 1.8.4.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Etapa 1.8.4.5

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Etapa 1.8.4.6

Some $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{3} - 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{3}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $180 x^{2} - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $180$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $180 x^{2}$ em relação a $x$ é $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$360 x + 0$

Etapa 4.3.2

Some $360 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $360 x$ .

$360 x$