Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} + 49)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 49} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 49} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 49} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))$

Etapa 1.2.3

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 49} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Combine frações.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 49} \cdot (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 49} \cdot x$

Etapa 1.2.4.3

Combine $\frac{2}{x^{2} + 49}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 49}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 49}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 49}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 49})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x^{2} + 49$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}})$

Etapa 2.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 98}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 98) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 98) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 98) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 98$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [98]$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (98)) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (98)) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (98)) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (98)) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.6

Como $98$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $98$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.2.7

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 98) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 98) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 98) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 98) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 49$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 98) (2 \cdot ((x^{2} + 49) x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 98) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f''' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 49)}^{2}$ como $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.2

Mova $49$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.3

Multiplique $49$ por $49$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.2

Some $49 x^{2}$ e $49 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (98 x^{2}) - 4 \cdot 2401) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.6

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1.6.1

Multiplique $98$ por $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 392 x^{2} - 4 \cdot 2401) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $2401$ .

$f''' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 392 x^{2} - 9604) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 392 x^{2} x - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 392 x^{2} x - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 392 x^{2} x - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 392 x^{2} x - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{2} x - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 (x \cdot x^{2}) - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 (x \cdot x^{2}) - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{1 + 2} - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 98) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $98$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (8 x^{2} - 392) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (8 x^{2} - 392) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (8 x^{2} - 392) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + (8 x^{2} - 392) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11

Expanda $(8 x^{2} - 392) (x^{3} + 49 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 392 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (49 x) - 392 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (49 x) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (49 x) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (49 x) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (49 x) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (49 x^{2} x) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (49 x^{1 + 2}) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (49 x^{3}) - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.4

Multiplique $8$ por $49$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 392 x^{3} - 392 x^{3} - 392 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.5

Multiplique $49$ por $- 392$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 392 x^{3} - 392 x^{3} - 19208 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.2

Subtraia $392 x^{3}$ de $392 x^{3}$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} + 0 - 19208 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.3

Some $8 x^{5}$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x + 8 x^{5} - 19208 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Some $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x^{5} - 392 x^{3} - 9604 x - 19208 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.3

Subtraia $19208 x$ de $- 9604 x$ .

$f''' (x) = \frac{4 x^{5} - 392 x^{3} - 28812 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.4.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5} - 392 x^{3} - 28812 x$ .

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Etapa 3.5.4.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 392 x^{3} - 28812 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.2

Fatore $4 x$ de $- 392 x^{3}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 98 x^{2}) - 28812 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.3

Fatore $4 x$ de $- 28812 x$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 98 x^{2}) + 4 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (- 98 x^{2})$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 4 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 4 x (- 7203)$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4

Fatore $u^{2} - 98 u - 7203$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7203$ e cuja soma é $- 98$ .

$- 147, 49$

Etapa 3.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f''' (x) = \frac{4 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 49$ e ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

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Etapa 3.5.5.1

Fatore $x^{2} + 49$ de $4 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$f''' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (4 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 49$ de ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (4 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (4 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}]$ .

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}})$

Etapa 4.2

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 147)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{({(x^{2} + 49)}^{3})}^{2}})$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 49)}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 147)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{3 \cdot 2}})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 147)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 147$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 147) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 147$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 147]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 147)) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 147)) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.5.3

Como $- 147$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 147$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.5.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (x (2 x) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.9.1

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 147) \cdot 1) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.9.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.9.3.1

Multiplique $x^{2} - 147$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (2 x^{2} + x^{2} - 147) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.9.3.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - x (x^{2} - 147) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{3}}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 4.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - x (x^{2} - 147) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - x (x^{2} - 147) (3 {(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.11

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) ({(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.11.2

Fatore ${(x^{2} + 49)}^{2}$ de ${(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) ({(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])$ .

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Etapa 4.11.2.1

Fatore ${(x^{2} + 49)}^{2}$ de ${(x^{2} + 49)}^{3} (3 x^{2} - 147)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147)) - 3 x (x^{2} - 147) ({(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.11.2.2

Fatore ${(x^{2} + 49)}^{2}$ de $- 3 x (x^{2} - 147) ({(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147)) + {(x^{2} + 49)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 49)))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.11.2.3

Fatore ${(x^{2} + 49)}^{2}$ de ${(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147)) + {(x^{2} + 49)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 49]))$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 49)))}{{(x^{2} + 49)}^{6}})$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore ${(x^{2} + 49)}^{2}$ de ${(x^{2} + 49)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 49)))}{{(x^{2} + 49)}^{2} {(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 49)))}{{(x^{2} + 49)}^{2} {(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.15

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.16

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.16.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 3 x (x^{2} - 147) (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.16.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x (x^{2} - 147) x}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x^{1 + 1} (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.20

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x^{2} (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}})$

Etapa 4.21

Combine $4$ e $\frac{(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x^{2} (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x^{2} (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22

Simplifique.

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Etapa 4.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147) - 6 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.22.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.22.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 49) (3 x^{2} - 147)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.22.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 (x^{2} (3 x^{2} - 147) + 49 (3 x^{2} - 147)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2} - 147)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.22.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.22.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.22.3.1.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 147 + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.3

Mova $- 147$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 147 \cdot x^{2} + 49 (3 x^{2}) + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $49$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 147 x^{2} + 147 x^{2} + 49 \cdot - 147) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.1.5

Multiplique $49$ por $- 147$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 147 x^{2} + 147 x^{2} - 7203) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.2

Some $- 147 x^{2}$ e $147 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} + 0 - 7203) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.2.3

Some $3 x^{4}$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 7203) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4}) + 4 \cdot - 7203 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} + 4 \cdot - 7203 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 7203$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.22.3.1.6.1

Mova $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 + 4 (- 6 (x^{2} x^{2})) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 + 4 (- 6 x^{2 + 2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.6.3

Some $2$ e $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 + 4 (- 6 x^{4}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.7

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 - 24 x^{4} + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.8

Multiplique $- 147$ por $- 6$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 - 24 x^{4} + 4 (882 x^{2})}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.1.9

Multiplique $882$ por $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 28812 - 24 x^{4} + 3528 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.3.2

Subtraia $24 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} - 28812 + 3528 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.4

Reordene os termos.

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} + 3528 x^{2} - 28812}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.5

Fatore $12$ de $- 12 x^{4} + 3528 x^{2} - 28812$ .

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Etapa 4.22.5.1

Fatore $12$ de $- 12 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 3528 x^{2} - 28812}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.5.2

Fatore $12$ de $3528 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (294 x^{2}) - 28812}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.5.3

Fatore $12$ de $- 28812$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (294 x^{2}) + 12 (- 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.5.4

Fatore $12$ de $12 (- x^{4}) + 12 (294 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 294 x^{2}) + 12 (- 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.5.5

Fatore $12$ de $12 (- x^{4} + 294 x^{2}) + 12 (- 2401)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 294 x^{2} - 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.6

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4}) + 294 x^{2} - 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.7

Fatore $- 1$ de $294 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4}) - (- 294 x^{2}) - 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 294 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 294 x^{2}) - 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.9

Reescreva $- 2401$ como $- 1 (2401)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 294 x^{2}) - 1 \cdot 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} - 294 x^{2}) - 1 (2401)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 294 x^{2} + 2401))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.11

Reescreva $- (x^{4} - 294 x^{2} + 2401)$ como $- 1 (x^{4} - 294 x^{2} + 2401)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- 1 (x^{4} - 294 x^{2} + 2401))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 4.22.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{12 (x^{4} - 294 x^{2} + 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{12 (x^{4} - 294 x^{2} + 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$ .

$- \frac{12 (x^{4} - 294 x^{2} + 2401)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$