Cálculo Exemplos

$y = 3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{3})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (3 {(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x))$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x))$

Etapa 1.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \cdot 1)$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 3) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 \cdot ((2 x + 3) (x^{2} + 3 x)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Etapa 2.5.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1))$

Etapa 2.5.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3))$

Etapa 2.6

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.7

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2}) + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.10.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 ({(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Etapa 2.10.4

Fatore $18 (x^{2} + 3 x)$ de $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ .

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Etapa 2.10.4.1

Fatore $18 (x^{2} + 3 x)$ de $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$

Etapa 2.10.4.2

Fatore $18 (x^{2} + 3 x)$ de $18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$

Etapa 2.10.4.3

Fatore $18 (x^{2} + 3 x)$ de $18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Etapa 2.10.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 18 (3 x)) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Etapa 2.10.6

Multiplique $3$ por $18$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Etapa 2.10.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.7.1

Reescreva ${(2 x + 3)}^{2}$ como $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + (2 x + 3) (2 x + 3))$

Etapa 2.10.7.2

Expanda $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))$

Etapa 2.10.7.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))$

Etapa 2.10.7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.10.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.7.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.7.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)$

Etapa 2.10.7.3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)$

Etapa 2.10.7.3.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 12 x + 9)$

Etapa 2.10.8

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 3 x + 12 x + 9)$

Etapa 2.10.9

Some $3 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$

Etapa 2.10.10

Expanda $(18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = 18 x^{2} (5 x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.11.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{4}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.3

Multiplique $18$ por $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.11.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.10.11.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.6

Multiplique $18$ por $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.7

Multiplique $9$ por $18$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x \cdot x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.9

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.11.9.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.11.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{2 + 1}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.9.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{3}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.10

Multiplique $54$ por $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x \cdot x) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.12

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.11.12.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 (x \cdot x)) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.12.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x^{2}) + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.13

Multiplique $54$ por $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 54 x \cdot 9$

Etapa 2.10.11.14

Multiplique $9$ por $54$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 486 x$

Etapa 2.10.12

Some $270 x^{3}$ e $270 x^{3}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 162 x^{2} + 810 x^{2} + 486 x$

Etapa 2.10.13

Some $162 x^{2}$ e $810 x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [540 x^{3}] + \frac{d}{d x} [972 x^{2}] + \frac{d}{d x} [486 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [90 x^{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $90$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $90 x^{4}$ em relação a $x$ é $90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f''' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f''' (x) = 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $90$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [540 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $540$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $540 x^{3}$ em relação a $x$ é $540 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $540$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [972 x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $972$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $972 x^{2}$ em relação a $x$ é $972 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 (2 x) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $972$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + \frac{d}{d x} (486 x)$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [486 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $486$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $486 x$ em relação a $x$ é $486 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $486$ por $1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1620 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1944 x] + \frac{d}{d x} [486]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (360 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [360 x^{3}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $360$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $360 x^{3}$ em relação a $x$ é $360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f^{4} (x) = 360 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $3$ por $360$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [1620 x^{2}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $1620$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1620 x^{2}$ em relação a $x$ é $1620 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 (2 x) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $1620$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [1944 x]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $1944$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1944 x$ em relação a $x$ é $1944 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.4.3

Multiplique $1944$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + \frac{d}{d x} (486)$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.5.1

Como $486$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $486$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + 0$

Etapa 4.5.2

Some $1080 x^{2} + 3240 x + 1944$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944$