Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sin (x))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os fatores de $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Etapa 1.4.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 1.4.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1.4.4

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Etapa 2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Etapa 3.7

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{2} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.4

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.4.3

Some $2$ e $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.5.2

Reescreva $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 4.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 4.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 4.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 4.7

Mova $2$ para a esquerda de $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.8

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.10

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 4.11

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 4.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Etapa 4.13

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 4.14

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Etapa 4.15

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Etapa 4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Etapa 4.17

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 4.18

Simplifique.

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Etapa 4.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 4.18.2

Combine os termos.

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Etapa 4.18.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 4.18.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 4.18.3

Reordene os termos.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$