Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{t^{2}}$ e ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , então, $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Subtraia $\frac{1}{t^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida $1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{u^{4}}{4}$ em $2$ e em $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Etapa 6.2.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Etapa 6.2.4

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Etapa 6.2.5

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Etapa 6.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Etapa 6.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.7.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Etapa 6.2.7.2

Subtraia $81$ de $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Etapa 6.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{65}{4}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Etapa 6.2.10

Multiplique $\frac{65}{4}$ por $1$ .

$\frac{65}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{65}{4}$

Forma decimal:

$16.25$

Forma de número misto:

$16 \frac{1}{4}$

Etapa 8