Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Depois, $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Etapa 2.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Etapa 2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{1 - 2}$

Etapa 2.1.8

Subtraia $2$ de $1$ .

$- x^{- 1}$

Etapa 2.1.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 5

Reescreva $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$