Cálculo Exemplos

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 1

Divida a fração $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ em duas frações.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 2.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $\tan^{2} (x)$ e $\tan (x)$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $\tan (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Etapa 2.4.2.4

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Etapa 4

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Etapa 6.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$