Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{t} - e^{- 3 t} - \cos (t) d t$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{t} d t + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| t |) + C + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| t |) + C - \int e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Etapa 4

Deixe $u = - 3 t$ . Depois, $d u = - 3 d t$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = - 3 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Etapa 4.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3 t$ em relação a $t$ é $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 5.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| t |) + C - \int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| t |) + C - - \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| t |) + C + 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 7.2

Multiplique $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ por $1$ .

$\ln (| t |) + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \cos (t) d t$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - \cos (t) d t$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - \int \cos (t) d t$

Etapa 11

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - (\sin (t) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{u} - \sin (t) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 t$ .

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{- 3 t} - \sin (t) + C$