Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x - 2)}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Etapa 1.1.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{x (x - 1) (x + 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((x - 1) (x + 2))$ por $1$ .

$1 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$1 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.8.6.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.6.2

Divida $(B) (x (x + 2))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.9

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.12

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.8.12.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 1.1.8.12.2

Divida $(C) (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Etapa 1.1.8.13

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.8.14

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.8.15

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Etapa 1.1.8.16

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Etapa 1.1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Etapa 1.1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9.2

Mova $B$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 2 A$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Etapa 1.1.9.4

Mova $2 x B$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Etapa 1.1.9.5

Mova $A x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 2 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 2 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A = 1$ .

$- 2 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 A = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B + C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + 2 B - 1 C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + B + C$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B + C = 0$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$B + C = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2} - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$ por $\frac{1}{2} - C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Escreva $2 (\frac{1}{2} - C)$ como uma fração com denominador $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} \cdot \frac{2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.4

Escreva $- C$ como uma fração com denominador $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.5

Multiplique $\frac{- C}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1} \cdot \frac{2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{- C}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 = \frac{- 1 + 2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 = \frac{- 1 + (1 - 2 C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = \frac{- 1 + 1 \cdot 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.4.1

Some $- 1$ e $2$ .

$0 = \frac{1 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.4.2

Subtraia $2 C$ de $- 4 C$ .

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $0 = \frac{1 - 6 C}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - 6 C = 0$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5.2

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 6 C = - 1$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5.2.2

Divida cada termo em $- 6 C = - 1$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 6 C = - 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5.2.2.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{1}{6}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = \frac{1}{2} - C$ por $\frac{1}{6}$ .

$B = \frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $\frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{3 - 1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.3.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{6}, A = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Etapa 1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$\int - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 7.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + C$