Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 49}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 7 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 7 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $7 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $49$ de $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t)) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $49$ de $- 49$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $49$ de $49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t) - 1)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \tan^{2} (t)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $49 \tan^{2} (t)$ como ${(7 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \tan (t))}^{2}}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $7 \tan (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $7 \tan (t)$ de ${(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $7 \tan (t)$ de $7 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) {(7 \sec (t))}^{2}} (7 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 \sec (t))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $7$ de $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 (\sec (t)))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a regra do produto a $7 (\sec (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{7^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.3.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.3.4

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ e $\sec^{2} (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.4.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.4.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{49 \sec (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{49}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{49}$ para fora da integral.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Etapa 4.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{49} \int 1 \cos (t) d t$

Etapa 4.3

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{49} \int \cos (t) d t$

Etapa 5

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$\frac{1}{49} (\sin (t) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{49} \sin (t) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{7})$ .

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{x}{7})) + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{1}{7} x)) + C$