Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Etapa 1

Converta de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ em $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 8

Simplifique.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$