Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Etapa 1.2

Separe as frações.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 1.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ em $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 1.4

Multiplique $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 1.5

Combine $\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Etapa 2

Deixe $u = 8 + \tan (t)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 8 + \tan (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $8 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + \tan (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 2.1.2.2

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 2.1.3

A derivada de $\tan (t)$ em relação a $t$ é $\sec^{2} (t)$ .

$0 + \sec^{2} (t)$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[9]{u}$ como $u^{\frac{1}{9}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

Etapa 3.2

Mova $u^{\frac{1}{9}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

Etapa 3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{9}}$ com relação a $u$ é $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ .

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 + \tan (t)$ .

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$