Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} d s$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $s^{2} {(s - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $s^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ({(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de ${(s - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 {(s - 1)}^{2}}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $s^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A ({(s - 1)}^{2})$ por $1$ .

$1 = A ({(s - 1)}^{2}) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva ${(s - 1)}^{2}$ como $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A ((s - 1) (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.3

Expanda $(s - 1) (s - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (s (s - 1) - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1.1

Multiplique $s$ por $s$ .

$1 = A (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $s$ .

$1 = A (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4.1.3

Reescreva $- 1 s$ como $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4.1.4

Reescreva $- 1 s$ como $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = A (s^{2} - s - s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.4.2

Subtraia $s$ de $- s$ .

$1 = A (s^{2} - 2 s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} + A (- 2 s) + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7

Cancele o fator comum de $s^{2}$ e $s$ .

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Etapa 1.1.6.7.1

Fatore $s$ de $B (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.6.7.2.1

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7.2.2

Fatore $s$ de $s^{1}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7.2.3

Cancele o fator comum.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7.2.4

Reescreva a expressão.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s {(s - 1)}^{2})}{1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.7.2.5

Divida $B (s {(s - 1)}^{2})$ por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s {(s - 1)}^{2}) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.8

Reescreva ${(s - 1)}^{2}$ como $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s ((s - 1) (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.9

Expanda $(s - 1) (s - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.6.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s (s - 1) - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.10.1.1

Multiplique $s$ por $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10.1.3

Reescreva $- 1 s$ como $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10.1.4

Reescreva $- 1 s$ como $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.10.2

Subtraia $s$ de $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 2 s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.11

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.12.1

Multiplique $s$ por $s^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.12.1.1

Multiplique $s$ por $s^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.12.1.1.1

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{1 + 2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.12.1.2

Some $1$ e $2$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.12.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.12.3

Multiplique $s$ por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.13

Multiplique $s$ por $s$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.13.1

Mova $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 (s \cdot s) + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.13.2

Multiplique $s$ por $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s^{2} + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.14

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} + B (- 2 s^{2}) + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.16

Cancele o fator comum de ${(s - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.16.1

Cancele o fator comum.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{C (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.16.2

Divida $(C) (s^{2})$ por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + (C) (s^{2}) + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.17

Cancele o fator comum de ${(s - 1)}^{2}$ e $s - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.17.1

Fatore $s - 1$ de $(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{s - 1}$

Etapa 1.1.6.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.17.2.1

Multiplique por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.17.2.2

Cancele o fator comum.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.17.2.3

Reescreva a expressão.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{D (s^{2} (s - 1))}{1}$

Etapa 1.1.6.17.2.4

Divida $D (s^{2} (s - 1))$ por $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} (s - 1))$

Etapa 1.1.6.18

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.6.19

Multiplique $s^{2}$ por $s$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.19.1

Multiplique $s^{2}$ por $s$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.19.1.1

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.6.19.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2 + 1} + s^{2} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.6.19.2

Some $2$ e $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} + s^{2} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.6.20

Mova $- 1$ para a esquerda de $s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - 1 \cdot s^{2})$

Etapa 1.1.6.21

Reescreva $- 1 s^{2}$ como $- s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - s^{2})$

Etapa 1.1.6.22

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} + D (- s^{2})$

Etapa 1.1.6.23

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Etapa 1.1.7.2

Reordene $B$ e $s^{3}$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $B$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Etapa 1.1.7.4

Reordene $B$ e $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Etapa 1.1.7.5

Mova $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + A$

Etapa 1.1.7.6

Mova $B s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + B s + A$

Etapa 1.1.7.7

Mova $- 2 s A$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Etapa 1.1.7.8

Mova $C s^{2}$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + D s^{3} + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Etapa 1.1.7.9

Mova $- 2 s^{2} B$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} + D s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Etapa 1.1.7.10

Mova $A s^{2}$ .

$1 = B s^{3} + D s^{3} + A s^{2} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $s^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + D$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $s^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $s$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + B$

Etapa 1.2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $s$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 1.2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A - 2 B + C - 1 D$ por $1$ .

$0 = (1) - 2 B + C - 1 D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $- 1 D$ como $- D$ .

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 2 A + B$ por $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 2 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = 1 - 2 B + C - D$ por $2$ .

$0 = 1 - 2 \cdot 2 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - 2 \cdot 2 + C - D$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$0 = 1 - 4 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Etapa 1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + D$ por $2$ .

$0 = (2) + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.4.1

Remova os parênteses.

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $D$ em $0 = 2 + D$ .

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $2 + D = 0$ .

$2 + D = 0$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $0 = - 3 + C - D$ por $- 2$ .

$0 = - 3 + C - (- 2)$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $- 3 + C - (- 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$0 = - 3 + C + 2$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Some $- 3$ e $2$ .

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.7

Resolva $C$ em $0 = C - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Reescreva a equação como $C - 1 = 0$ .

$C - 1 = 0$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.7.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 1.3.8

Resolva o sistema de equações.

$C = 1 D = - 2 B = 2 A = 1$

Etapa 1.3.9

Liste todas as soluções.

$C = 1, D = - 2, B = 2, A = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{- 2}{s - 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{s^{2}} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $s^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(s^{2})}^{- 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(s^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int s^{2 \cdot - 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int s^{- 2} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $s^{- 2}$ com relação a $s$ é $- s^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $s$ , mova $2$ para fora da integral.

$- s^{- 1} + C + 2 \int \frac{1}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{s}$ com relação a $s$ é $\ln (| s |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = s - 1$ . Depois, $d u_{1} = d s$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = s - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s - 1$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Etapa 7.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- 1$ em relação a $s$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $s$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{2}{s - 1} d s$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $s$ , mova $2$ para fora da integral.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{s - 1} d s)$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{s - 1} d s$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = s - 1$ . Depois, $d u_{2} = d s$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = s - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d s}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Diferencie $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s - 1$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Etapa 13.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- 1$ em relação a $s$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{u_{1}} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| s - 1 |) + C$