Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} x^{2} \cos (3 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\cos (3 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3})]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\cos (3 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) d x)$

Etapa 10

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 10.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Etapa 10.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Etapa 10.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{3} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Etapa 13.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{9}$ e $\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Etapa 16

Substitua e simplifique.

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Etapa 16.1

Avalie $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Etapa 16.2

Avalie $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Etapa 16.3

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

Etapa 16.4

Simplifique.

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Etapa 16.4.1

Combine $3$ e $\frac{π}{6}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.2

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 16.4.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 16.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.5

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.6

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 16.4.6.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 16.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.8

Some $\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3}$ e $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.9

Combine $3$ e $\frac{π}{6}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.10

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 16.4.10.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 (π)}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.10.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{π}{2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.11

Combine $\frac{π}{6}$ e $\cos (\frac{π}{2})$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.12

Reescreva $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3}$ como um produto.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.13

Multiplique $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6 \cdot 3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.14

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.15

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.16

Multiplique $0$ por $\cos (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.17

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 16.4.17.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.17.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.17.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.17.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.17.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + 0 + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.18

Some $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18}$ e $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Etapa 16.4.19

Para escrever $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9} \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 16.4.20

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.4.20.1

Multiplique $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{9 \cdot 2})$

Etapa 16.4.20.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18})$

Etapa 16.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18}$

Etapa 16.4.22

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 \cdot (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$

Etapa 16.4.23

Multiplique $\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{18 \cdot 3}$

Etapa 16.4.24

Multiplique $18$ por $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{54}$

Etapa 16.4.25

Mova $2$ para a esquerda de $- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 \cdot (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{54}$

Etapa 16.4.26

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.4.26.1

Fatore $2$ de $54$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

Etapa 16.4.26.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

Etapa 16.4.26.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Etapa 17.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Etapa 17.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{27}$

Etapa 17.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Etapa 17.5

Multiplique ${(\frac{π}{6})}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Etapa 17.6

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 π + 2 (1 - 0)}{27}$

Etapa 17.7

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Etapa 17.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 + 0)}{27}$

Etapa 17.9

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 \cdot 1}{27}$

Etapa 17.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2}{27}$

Etapa 17.11

Some $0$ e $2$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{\frac{π^{2}}{6^{2}}}{3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{π^{2}}{36}}{3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{π^{2}}{36} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18.3

Combine.

$\frac{π^{2} \cdot 1}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18.4

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Etapa 18.5

Multiplique $36$ por $3$ .

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

Forma decimal:

$0.01731115 \dots$