Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.1.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $3$ de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $3$ de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.6

Reordene $3$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{2} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} t + C$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$