Cálculo Exemplos

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2

Fatore $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Fatore $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2.3

Fatore $t^{\frac{1}{3}}$ de $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Etapa 1.2

Mova $t^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Etapa 1.3

Multiplique $t^{2}$ por $t^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Etapa 1.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Etapa 1.3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Etapa 1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Etapa 2

Mova $t^{\frac{5}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Etapa 3.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.4

Subtraia $5$ de $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.5.2

Reescreva a expressão.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.6

Simplifique.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 4.7

Multiplique $t^{- \frac{5}{3}}$ por $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{5}{3}}$ com relação a $t$ é $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$