Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{3} + 3 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} (x + 3)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $x^{2} + 8 x - 3$ por $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (x + 3)$ por $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A (x + 3) + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x + 3))$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.6.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4.2.3

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4.2.4

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.4.2.5

Divida $B (x (x + 3))$ por $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x (x + 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + B (3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.10

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.1.6.10.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{C (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + (C) (x^{2})$

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + C x^{2}$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.7.1

Mova $B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 x B + C x^{2}$

Etapa 1.1.7.2

Mova $3 A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 3 A$

Etapa 1.1.7.3

Mova $3 x B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 3 x B + 3 A$

Etapa 1.1.7.4

Mova $A x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 3 x B + 3 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = 3 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $- 3 = 3 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $3 A = - 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $- 3$ por $3$ .

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $8 = A + 3 B$ por $- 1$ .

$8 = (- 1) + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $8 = - 1 + 3 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + 3 B = 8$ .

$- 1 + 3 B = 8$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 B = 8 + 1$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $8$ e $1$ .

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $3 B = 9$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $3 B = 9$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $9$ por $3$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = B + C$ por $3$ .

$1 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $1 = 3 + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $3 + C = 1$ .

$3 + C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = 1 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = - 2 B = 3 A = - 1$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$C = - 2, B = 3, A = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 3}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{2}{x + 3} d x$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 11

Deixe $u = x + 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 11.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 3 |) + C$