Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} - 3 x$ por $x^{2} - 3 x - 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$28$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 3 x - 28$ .

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$28$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$28$
									+	$28$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 + \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Etapa 4

Como $28$ é constante com relação a $x$ , mova $28$ para fora da integral.

$x + C + 28 \int \frac{1}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Etapa 5

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 28$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 28$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 7, 4$

Etapa 5.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{(x - 7) (x + 4)}$

Etapa 5.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Etapa 5.1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 4}$

Etapa 5.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 7) (x + 4)$ .

$\frac{1 (x - 7) (x + 4)}{(x - 7) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 7) (x + 4)}{(x - 7) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Etapa 5.1.7.4.2

Divida $(B) (x - 7)$ por $1$ .

$1 = A x + 4 A + (B) (x - 7)$

Etapa 5.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + 4 A + B x + B \cdot - 7$

Etapa 5.1.7.6

Mova $- 7$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A x + 4 A + B x - 7 B$

Etapa 5.1.8

Mova $4 A$ .

$1 = A x + B x + 4 A - 7 B$

Etapa 5.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 5.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 A - 7 B$

Etapa 5.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = 4 A - 7 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 A - 7 B$

Etapa 5.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 4 A - 7 B$

Etapa 5.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = 4 A - 7 B$

$A = - B$

$1 = 4 A - 7 B$

Etapa 5.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 4 A - 7 B$ por $- B$ .

$1 = 4 (- B) - 7 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique $4 (- B) - 7 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$1 = - 4 B - 7 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Subtraia $7 B$ de $- 4 B$ .

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

Etapa 5.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 11 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva a equação como $- 11 B = 1$ .

$- 11 B = 1$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2

Divida cada termo em $- 11 B = 1$ por $- 11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 11 B = 1$ por $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Etapa 5.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

Etapa 5.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{11}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $- \frac{1}{11}$ .

$A = - (- \frac{1}{11})$

$B = - \frac{1}{11}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Multiplique $- (- \frac{1}{11})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{11})$

$B = - \frac{1}{11}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{11}$ por $1$ .

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

Etapa 5.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{11}, B = - \frac{1}{11}$

Etapa 5.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x - 7} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{x - 7} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{1}{11}$ por $\frac{1}{x - 7}$ .

$\frac{1}{11 (x - 7)} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Etapa 5.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 4}$ por $\frac{1}{11}$ .

$\frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{(x + 4) \cdot 11}$

Etapa 5.5.5

Mova $11$ para a esquerda de $x + 4$ .

$x + C + 28 \int \frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{11 (x + 4)} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C + 28 (\int \frac{1}{11 (x - 7)} d x + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{11}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{11}$ para fora da integral.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} \int \frac{1}{x - 7} d x + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = x - 7$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = x - 7$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 8.1.4

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{11}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{11}$ para fora da integral.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{11} \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 12.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{11} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{11} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{11} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 7$ .

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| x - 7 |) - \frac{1}{11} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| x - 7 |) - \frac{1}{11} \ln (| x + 4 |)) + C$