Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{4} - 4 x^{3} - x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida $x^{4} - 4 x^{3} - x - 6$ por $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 4 x^{3} + 0 + 0$ .

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$
													-	$x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

								$x$
$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
							-	$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$0$	-	$0$
													-	$x$	-	$6$

Etapa 1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x + \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{- x - 6}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{- x - 6}{x^{2} (x - 4)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{(- x - 6) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- x - 6) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- x - 6) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- x - 6) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.5.2

Divida $- x - 6$ por $1$ .

$- x - 6 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$- x - 6 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $A (x - 4)$ por $1$ .

$- x - 6 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x - 6 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$- x - 6 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x - 4))$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4.2.3

Cancele o fator comum.

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4.2.4

Reescreva a expressão.

$- x - 6 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.4.2.5

Divida $B (x (x - 4))$ por $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.7

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.10

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.10.1

Cancele o fator comum.

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 4.1.6.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Etapa 4.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Mova $B$ .

$- x - 6 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Etapa 4.1.7.2

Mova $- 4 A$ .

$- x - 6 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Etapa 4.1.7.3

Mova $- 4 x B$ .

$- x - 6 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Etapa 4.1.7.4

Mova $A x$ .

$- x - 6 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 6 = - 4 A$

Etapa 4.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$- 6 = - 4 A$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$- 6 = - 4 A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $- 6 = - 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = - 6$ .

$- 4 A = - 6$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = - 6$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = - 6$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{- 6}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 6$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 4}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = A - 4 B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{3}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 1 = A - 4 B$ por $\frac{3}{2}$ .

$- 1 = (\frac{3}{2}) - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $- 1 = \frac{3}{2} - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{2} - 4 B = - 1$ .

$\frac{3}{2} - 4 B = - 1$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Subtraia $\frac{3}{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 B = - 1 - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 B = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 B = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 B = \frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 B = \frac{- 2 - 3}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.5.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$- 4 B = \frac{- 5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 4 B = \frac{- 5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 B = - \frac{5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$- 4 B = - \frac{5}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3

Divida cada termo em $- 4 B = - \frac{5}{2}$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 4 B = - \frac{5}{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{- \frac{5}{2}}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$B = - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{- 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{4})$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3.3

Multiplique $- \frac{5}{2} (- \frac{1}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$B = 1 (\frac{5}{2}) \cdot \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3.3.2

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$B = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3.3.3

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{5}{2 \cdot 4}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.3.3.3.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = B + C$

Etapa 4.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{8}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $\frac{5}{8}$ .

$0 = (\frac{5}{8}) + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$0 = \frac{5}{8} + C$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.3.5

Resolva $C$ em $0 = \frac{5}{8} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{5}{8} + C = 0$ .

$\frac{5}{8} + C = 0$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $\frac{5}{8}$ dos dois lados da equação.

$C = - \frac{5}{8}$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{5}{8}$

$B = \frac{5}{8}$

$A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = - \frac{5}{8} B = \frac{5}{8} A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.3.7

Liste todas as soluções.

$C = - \frac{5}{8}, B = \frac{5}{8}, A = \frac{3}{2}$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5.2

Combine.

$\frac{3 \cdot 1}{2 x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{\frac{5}{8}}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5.5

Multiplique $\frac{5}{8}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} + \frac{- \frac{5}{8}}{x - 4}$

Etapa 4.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Etapa 4.5.7

Multiplique $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{5}{8}$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{(x - 4) \cdot 8}$

Etapa 4.5.8

Mova $8$ para a esquerda de $x - 4$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{8 x} - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{2 x^{2}} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{8 x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{5}{8}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{8 (x - 4)} d x$

Etapa 12

Como $\frac{5}{8}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - (\frac{5}{8} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Etapa 13

Deixe $u = x - 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u = x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 13.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \frac{5}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{3}{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{8} (\ln (| x |) + C) - \frac{5}{8} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5 \ln (| x |)}{8} - \frac{5}{8} \ln (| u |) + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5 \ln (| x |)}{8} - \frac{5}{8} \ln (| x - 4 |) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2 x} + \frac{5}{8} \ln (| x |) - \frac{5}{8} \ln (| x - 4 |) + C$