Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} - x + 3}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 1

Divida $x^{3} - x + 3$ por $x^{2} + x - 2$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x + 2$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

$2 x$

$1$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x - 1 + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x^{2} + x - 2$ . Depois, $d u = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x^{2} + x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Etapa 5.1.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x^{2} + x - 2 |) + C$