Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 1

Divida $x^{4}$ por $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 0 + 4 x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} + 0 - 16$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 16 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Combine $16$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{16}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{8}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 8.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$