Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2 \tan (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 \tan (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int {(2 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sec (t)$ .

$\int {(2 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (\sec (t))$ .

$\int 2^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\int 8 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Etapa 2.2.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 8 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Etapa 2.2.2.6

Some $1$ e $3$ .

$\int 8 \sec^{4} (t) d t$

Etapa 3

Como $8$ é constante com relação a $t$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \sec^{4} (t) d t$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$8 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$8 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$8 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Deixe $u = \tan (t)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \tan (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\tan (t)$ em relação a $t$ é $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int 1 + u^{2} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$8 (u + C + \int u^{2} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$8 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$8 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (t)$ .

$8 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$8 (\tan (arcsec (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ é $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.10

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.12

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 12.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.12.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$8 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.1.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))$ .

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3}) + C$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Etapa 12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Etapa 12.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Etapa 12.4.3

Reescreva a expressão.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

Etapa 12.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.10

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.12

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.12.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}^{3}}{3} + C$

Etapa 12.5.15

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.1

Reescreva ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}$ como $\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.2

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.3

Reescreva ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.3.1

Fatore ${(x + 2)}^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.3.2

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) ({(x - 2)}^{2} (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.3.3

Mova $x + 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.3.4

Reescreva ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.3.5

Adicione parênteses.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x + 2) (x - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.5

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x (x - 2) + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.6

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.6.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.6.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.6.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.8

Multiplique $(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.8.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.8.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x^{1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1 + 1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.8.4

Some $1$ e $1$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{2} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.9

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.10

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.16.10.1

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.10.2

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $- 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.10.3

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 4)}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 2^{2})}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.16.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{2^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.5.17

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}}{3} + C$

Etapa 12.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Etapa 12.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 12.6.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

Etapa 12.6.2.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{24} + C$

Etapa 12.6.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 12.6.3.1

Fatore $8$ de $24$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 (3)} + C$

Etapa 12.6.3.2

Cancele o fator comum.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

Etapa 12.6.3.3

Reescreva a expressão.

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Etapa 12.7

Para escrever $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Etapa 12.8

Combine $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Etapa 12.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.10.1

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 12.10.1.1

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10.1.2

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Etapa 12.10.1.3

Fatore $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ de $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Etapa 12.10.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

Etapa 12.10.3

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 12.10.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x (x - 2) + 2 (x - 2))}{3} + C$

Etapa 12.10.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}{3} + C$

Etapa 12.10.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10.4

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 12.10.4.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10.4.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10.4.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

Etapa 12.10.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 4)}{3} + C$

Etapa 12.10.6

Subtraia $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x \cdot x + 8)}{3} + C$

Etapa 12.10.7

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 8)}{3} + C$