Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 2.1.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Etapa 2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}}} d x$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}}} d x$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}}} d x$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{4 - 3}{6}}} d x$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{6}}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{\frac{1}{6}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{1}{6} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.3

Para escrever $\frac{5}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\int x^{\frac{15 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.6.2

Subtraia $1$ de $15$ .

$\int x^{\frac{14}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $14$ e $6$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $2$ de $14$ .

$\int x^{\frac{2 (7)}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\int x^{\frac{7}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 4.8

Multiplique $x^{- \frac{1}{6}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{7}{3}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{7}{3}} d x + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{7}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{6}}$ com relação a $x$ é $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$