Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x + 6}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{3}} d x$

Etapa 1

Fatore $2$ de $4 x + 6$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 6}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{3}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (3)}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{3}} d x$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (3)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{3}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{2 x + 3}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{3}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 3 x + 7$ . Depois, $d u = (2 x + 3) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 3 x + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 3 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 7]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 3 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$2 x + 3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \int u^{- 3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 6.1.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Etapa 6.2

Simplifique.

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 2}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 u^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (u^{2})} + C$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{u^{2}} + C$

Etapa 6.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{u^{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3 x + 7$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x + 7)}^{2}} + C$