Cálculo Exemplos

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{4 x^{3} - x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) - x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x (4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2} - 1)}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ((2 x + 1) (2 x - 1))}$

Etapa 1.1.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x (2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.7

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.7.2

Divida $6 x^{2} - 2 x - 1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((2 x + 1) (2 x - 1))$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.3

Combine os termos opostos em $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.3.2

Some $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.3.3

Some $2 x (2 x)$ e $0$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.2.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2}) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.8

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.9

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.9.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{B (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.9.2

Divida $(B) (x (2 x - 1))$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + (B) (x (2 x - 1)) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (x (2 x) + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.12

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.13.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.13.1.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.13.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.13.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.14

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2}) + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.17

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 1.1.8.17.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{C (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.8.17.2

Divida $(C) (x (2 x + 1))$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + (C) (x (2 x + 1))$

Etapa 1.1.8.18

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (x (2 x) + x \cdot 1)$

Etapa 1.1.8.19

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 1.1.8.20

Multiplique $x$ por $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x)$

Etapa 1.1.8.21

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.8.21.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 (x \cdot x) + x)$

Etapa 1.1.8.21.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2} + x)$

Etapa 1.1.8.22

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2}) + C x$

Etapa 1.1.8.23

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9

Reordene.

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Etapa 1.1.9.1

Mova $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9.2

Mova $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - B x + 2 C x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9.3

Mova $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x$

Etapa 1.1.9.4

Mova $- A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x - A$

Etapa 1.1.9.5

Mova $- x B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} - x B + C x - A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = - 1 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $- 1 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = - 1$ .

$- 1 A = - 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $6 = 4 A + 2 B + 2 C$ por $1$ .

$6 = 4 (1) + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $6 = 4 + 2 B + 2 C$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $4 + 2 B + 2 C = 6$ .

$4 + 2 B + 2 C = 6$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 B + 2 C = 6 - 4$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $2 C$ dos dois lados da equação.

$2 B = 6 - 4 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.2.3

Subtraia $4$ de $6$ .

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $2 B = 2 - 2 C$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 2 - 2 C$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1.1

Divida $2$ por $2$ .

$B = 1 + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 C$ .

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 (1)}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$B = 1 + \frac{- C}{1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.3.3.3.1.2.2.4

Divida $- C$ por $1$ .

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 2 = - 1 B + C$ por $1 - C$ .

$- 2 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 1 (1 - C) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $C$ e $C$ .

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $- 2 = - 1 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 C = - 2$ .

$- 1 + 2 C = - 2$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 C = - 2 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $2 C = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $2 C = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 1 - C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1

Multiplique $- (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$B = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$B = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{2 + 1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Some $2$ e $1$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{2 x - 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{(2 x - 1) \cdot 2}$

Etapa 1.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x)$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 12.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 13.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$