Cálculo Exemplos

$\int \frac{10 y^{2}}{5 + y^{3}} d y$

Etapa 1

Como $10$ é constante com relação a $y$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int \frac{y^{2}}{5 + y^{3}} d y$

Etapa 2

Reescreva $y^{3}$ como ${(y^{3})}^{1}$ .

$10 \int \frac{y^{2}}{5 + {(y^{3})}^{1}} d y$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = y^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = y^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y^{2}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$10 \int \frac{1}{5 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique.

$10 \int \frac{1}{5 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{5 + u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$10 \int \frac{1}{(5 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de $5 + u_{1}$ .

$10 \int \frac{1}{3 (5 + u_{1})} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{5 + u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $10$ .

$\frac{10}{3} \int \frac{1}{5 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 5 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 5 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $5 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + u_{1}]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 7.1.3

Como $5$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $5$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 7.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{10}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{10}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 + u_{1}$ .

$\frac{10}{3} \ln (| 5 + u_{1} |) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{3}$ .

$\frac{10}{3} \ln (| 5 + y^{3} |) + C$