Cálculo Exemplos

$\int \frac{12 + 10 x - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $12 + 10 x - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 (6) + 10 x - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $10 x$ .

$\frac{2 (6) + 2 (5 x) - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (6) + 2 (5 x) + 2 (- x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $2$ de $2 (6) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (6 + 5 x) + 2 (- x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $2$ de $2 (6 + 5 x) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (6 + 5 x - x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Reordene os termos.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 5 (x) + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.2.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 6 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 6 (- x - 1))}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 6))}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.3.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Etapa 1.1.1.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 1.1.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.2

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.3

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.3.2

Divida $2 (- x - 1) (x - 6)$ por $1$ .

$2 (- x - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (- x) + 2 \cdot - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.5

Multiplique.

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Etapa 1.1.5.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(- 2 x + 2 \cdot - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 2) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6

Expanda $(- 2 x - 2) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x (x - 6) - 2 (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.7.1.1.1

Mova $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$- 2 x^{2} + 12 x - 2 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2 x$ de $12 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A ((x + 2) (x - 2))$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.2

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.3

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 1.1.8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.3.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.3.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.7.2

Divida $(B) (x (x - 2))$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.10

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.11

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.13

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.8.13.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.13.2

Divida $(C) (x (x + 2))$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Etapa 1.1.8.14

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Etapa 1.1.8.15

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Etapa 1.1.8.16

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Etapa 1.1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Etapa 1.1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.1.9.2

Mova $- 4 A$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 2 x B$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$12 = - 4 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $12 = - 4 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = 12$ .

$- 4 A = 12$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = 12$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $12$ por $- 4$ .

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = A + B + C$ por $- 3$ .

$- 2 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $- 2 = - 3 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 3 + B + C = - 2$ .

$- 3 + B + C = - 2$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$B + C = - 2 + 3$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = - 2 + 3 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.3.2.3

Some $- 2$ e $3$ .

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $10 = - 2 B + 2 C$ por $1 - C$ .

$10 = - 2 (1 - C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 2 (1 - C) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 = - 2 \cdot 1 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$10 = - 2 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$10 = - 2 + 2 C + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 2 C + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $2 C$ e $2 C$ .

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $10 = - 2 + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $- 2 + 4 C = 10$ .

$- 2 + 4 C = 10$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 C = 10 + 2$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $10$ e $2$ .

$4 C = 12$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$4 C = 12$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $4 C = 12$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $4 C = 12$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 C}{4} = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.3.1

Divida $12$ por $4$ .

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 1 - C$ por $3$ .

$B = 1 - (3)$

$C = 3$

$A = - 3$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $1 - (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$B = 1 - 3$

$C = 3$

$A = - 3$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 2, C = 3, A = - 3$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{3}{x} - \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Etapa 12

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 13.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 2$ .

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 2 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 2 |) + 3 \ln (| x - 2 |) + C$