Cálculo Exemplos

$\int 2^{\frac{- x}{2}} d x$

Etapa 1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 2^{- \frac{x}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , então, $- 2 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Etapa 2.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 3.5

Fatore o negativo.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 3.6

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

A integral de $2^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Etapa 7

Reescreva $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ como $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Etapa 8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Etapa 8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{x}{2}} + C$

Etapa 9

Combine $2^{1 - \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{1}{2} x} + C$