Cálculo Exemplos

$\int \frac{20 x^{3}}{4 + 5 x^{4}} d x$

Etapa 1

Como $20$ é constante com relação a $x$ , mova $20$ para fora da integral.

$20 \int \frac{x^{3}}{4 + 5 x^{4}} d x$

Etapa 2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{4})}^{1}$ .

$20 \int \frac{x^{3}}{4 + 5 {(x^{4})}^{1}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$20 \int \frac{1}{4 + 5 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique.

$20 \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{4 + 5 u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$20 \int \frac{1}{(4 + 5 u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova $4$ para a esquerda de $4 + 5 u_{1}$ .

$20 \int \frac{1}{4 (4 + 5 u_{1})} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$20 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $20$ .

$\frac{20}{4} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $20$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 (1)} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{1} \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$5 \int \frac{1}{4 + 5 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 4 + 5 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 5 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 4 + 5 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $4 + 5 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 + 5 u_{1}]$

Etapa 7.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 5 u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [5 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [5 u_{1}]$

Etapa 7.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $4$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [5 u_{1}]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [5 u_{1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $5 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $5 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Etapa 7.1.4

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 5} d u_{2}$

Etapa 8.2

Mova $5$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{5 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{5}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.3

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 + 5 u_{1}$ .

$\ln (| 4 + 5 u_{1} |) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{4}$ .

$\ln (| 4 + 5 x^{4} |) + C$