Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{3} + x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 1.1.1.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{3} + x$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x}$

Etapa 1.1.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.2

Divida $(2 x - 1) (x - 2)$ por $1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5

Expanda $(2 x - 1) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.1.7.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.7.6.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.8

Mova $A$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 5 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = - 5$ .

$C = - 5$

$2 = A + B$

$2 = A$

Etapa 1.3.2

Reescreva a equação como $A = 2$ .

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $2$ .

$2 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $2 = 2 + B$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $2 + B = 2$ .

$2 + B = 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 0 A = 2 C = - 5$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 0, A = 2, C = - 5$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{0 x - 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{2}{x} + \frac{(0) \cdot x - 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $5$ de $0 \cdot x - 5$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Fatore $5$ de $0 \cdot x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) - 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2.1.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2.1.3

Fatore $5$ de $5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 \cdot - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7.2

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 7.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 (\arctan (x) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$2 \ln (| x |) - 5 \arctan (x) + C$