Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

Etapa 1

Divida $2 x^{2} - 3 x + 1$ por $3 x - 3$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 2 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 1$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

Etapa 1.11

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$