Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 12 x + 4$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - 4 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} (x - 4)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $2 (x^{2} - 6 x + 2)$ por $1$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.7

Simplifique.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A (x - 4)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.8.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x - 4))$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.8.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4.2.3

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4.2.4

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.4.2.5

Divida $B (x (x - 4))$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.7

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.10

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.1.8.10.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.8.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Etapa 1.1.9.2

Mova $- 4 A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 4 x B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Etapa 1.1.9.4

Mova $A x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = - 4 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $4 = - 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = 4$ .

$- 4 A = 4$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = 4$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $4$ por $- 4$ .

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 12 = A - 4 B$ por $- 1$ .

$- 12 = (- 1) - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $- 12 = - 1 - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 - 4 B = - 12$ .

$- 1 - 4 B = - 12$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 4 B = - 12 + 1$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $- 12$ e $1$ .

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 4 B = - 11$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 4 B = - 11$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{11}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $2 = B + C$ por $\frac{11}{4}$ .

$2 = (\frac{11}{4}) + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $2 = \frac{11}{4} + C$ .

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{11}{4} + C = 2$ .

$\frac{11}{4} + C = 2$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.5.2.1

Subtraia $\frac{11}{4}$ dos dois lados da equação.

$C = 2 - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$C = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 \cdot 4 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$C = \frac{8 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.5.2

Subtraia $11$ de $8$ .

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Etapa 1.3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = - \frac{3}{4} B = \frac{11}{4} A = - 1$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$C = - \frac{3}{4}, B = \frac{11}{4}, A = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $\frac{11}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{(x - 4) \cdot 4}$

Etapa 1.5.6

Mova $4$ para a esquerda de $x - 4$ .

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{11}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{11}{4}$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Etapa 10

Deixe $u = x - 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u = x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 10.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} + \frac{11}{4} \ln (| x |) - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$