Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $3$ de $3 u - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $3$ de $3 (u) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (u - 1) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $3 (u - 1)$ por $1$ .

$3 (u - 1) = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u + 3 \cdot - 1 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$3 u - 3 = \frac{(A u + B) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A u + B$ por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.8.2

Cancele o fator comum de ${(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ e $u^{2} - 2 u + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.2.1

Fatore $u^{2} - 2 u + 6$ de $(C u + D) {(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.1.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.8.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

Etapa 1.1.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(u^{2} - 2 u + 6) ((C u + D) (u^{2} - 2 u + 6))}{(u^{2} - 2 u + 6) \cdot 1}$

Etapa 1.1.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 u - 3 = A u + B + \frac{(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)}{1}$

Etapa 1.1.8.2.2.4

Divida $(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ por $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + (C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$

Etapa 1.1.8.3

Expanda $(C u + D) (u^{2} - 2 u + 6)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 u - 3 = A u + B + C u \cdot u^{2} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.4.1

Multiplique $u$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1.1

Mova $u^{2}$ .

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.1.2

Multiplique $u^{2}$ por $u$ .

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Etapa 1.1.8.4.1.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + C (u^{2} u) + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{2 + 1} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} + C u (- 2 u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u \cdot u + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.3

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.8.4.3.1

Mova $u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C (u \cdot u) + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.3.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + C u \cdot 6 + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.4

Mova $6$ para a esquerda de $C u$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 \cdot (C u) + D u^{2} + D (- 2 u) + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + D \cdot 6$

Etapa 1.1.8.4.6

Mova $6$ para a esquerda de $D$ .

$3 u - 3 = A u + B + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + 6 D$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + 6 C u + D u^{2} - 2 D u + B + 6 D$

Etapa 1.1.9.2

Mova $6 C u$ .

$3 u - 3 = A u + C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

Etapa 1.1.9.3

Mova $A u$ .

$3 u - 3 = C u^{3} - 2 C u^{2} + D u^{2} + A u + 6 C u - 2 D u + B + 6 D$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $u^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $u^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 C + D$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $u$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + 6 C - 2 D$

Etapa 1.2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $u$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = C$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = - 2 C + D$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $0 = - 2 C + D$ por $0$ .

$0 = - 2 \cdot 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 2 \cdot 0 + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 = 0 + D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $0$ e $D$ .

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

$0 = D$

$C = 0$

$3 = A + 6 C - 2 D$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $3 = A + 6 C - 2 D$ por $0$ .

$3 = A + 6 (0) - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Simplifique $A + 6 (0) - 2 D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$3 = A + 0 - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.2.4.1.2

Some $A$ e $0$ .

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A - 2 D$

$0 = D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.3

Reescreva a equação como $D = 0$ .

$D = 0$

$3 = A - 2 D$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $3 = A - 2 D$ por $0$ .

$3 = A - 2 \cdot 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $A - 2 \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$3 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $A$ e $0$ .

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B + 6 D$

Etapa 1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $- 3 = B + 6 D$ por $0$ .

$- 3 = B + 6 (0)$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1

Simplifique $B + 6 (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$- 3 = B + 0$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.4.1.2

Some $B$ e $0$ .

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$- 3 = B$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Reescreva a equação como $B = - 3$ .

$B = - 3$

$3 = A$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.6

Reescreva a equação como $A = 3$ .

$A = 3$

$B = - 3$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = - 3, D = 0, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A u + B}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{C u + D}{u^{2} - 2 u + 6}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{3 u - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $3$ de $3 \cdot u - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Fatore $3$ de $3 \cdot u$ .

$\frac{3 (u) - 3}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (u) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot u + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Multiplique $0$ por $u$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0 + 0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + \frac{0}{u^{2} - 2 u + 6}$

Etapa 1.5.3

Divida $0$ por $u^{2} - 2 u + 6$ .

$\frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} + 0$

Etapa 1.5.4

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{3 (u - 1)}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{u - 1}{{(u^{2} - 2 u + 6)}^{2}} d u$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ . Depois, $d u_{1} = (2 u - 2) d u$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = (u - 1) d u$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = u^{2} - 2 u + 6$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $u^{2} - 2 u + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 2 u + 6]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} - 2 u + 6$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 2 u] + \frac{d}{d u} [6]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d u} [- 2 u]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 2 u$ em relação a $u$ é $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 u - 2 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [6]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 u - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [6]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 u - 2 + \frac{d}{d u} [6]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $6$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 u - 2 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $2 u - 2$ e $0$ .

$2 u - 2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{1}}^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Etapa 6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{3}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $\frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ como $\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + C$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{3}{2 u_{1}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $u^{2} - 2 u + 6$ .

$- \frac{3}{2 (u^{2} - 2 u + 6)} + C$