Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{x^{3} - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} x - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 2}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x^{2} (x - 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x - 2)$ .

$\frac{2 (x + 2) (x^{2} (x - 2))}{x^{2} (x - 2)} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 2) (x^{2} (x - 2))}{x^{2} (x - 2)} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $2 (x + 2)$ por $1$ .

$2 (x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $A (x - 2)$ por $1$ .

$2 x + 4 = A (x - 2) + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$2 x + 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x - 2))$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2.3

Cancele o fator comum.

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{x (B (x (x - 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2.4

Reescreva a expressão.

$2 x + 4 = A x - 2 A + \frac{B (x (x - 2))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.4.2.5

Divida $B (x (x - 2))$ por $1$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x (x - 2)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.7

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.10

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.10.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x^{2} (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.1.8.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x^{2})$

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2}$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$2 x + 4 = A x - 2 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2}$

Etapa 1.1.9.2

Mova $- 2 A$ .

$2 x + 4 = A x + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} - 2 A$

Etapa 1.1.9.3

Mova $- 2 x B$ .

$2 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B - 2 A$

Etapa 1.1.9.4

Mova $A x$ .

$2 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 2 x B - 2 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = - 2 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$4 = - 2 A$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$4 = - 2 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $4 = - 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A = 4$ .

$- 2 A = 4$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 2 A = 4$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 A = 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = \frac{4}{- 2}$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $4$ por $- 2$ .

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = A - 2 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A - 2 B$ por $- 2$ .

$2 = (- 2) - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$2 = - 2 - 2 B$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $2 = - 2 - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 - 2 B = 2$ .

$- 2 - 2 B = 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 2 B = 2 + 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $2$ e $2$ .

$- 2 B = 4$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$- 2 B = 4$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 2 B = 4$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 2 B = 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 2}$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $4$ por $- 2$ .

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = B + C$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $- 2$ .

$0 = (- 2) + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

$0 = - 2 + C$

$B = - 2$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $0 = - 2 + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $- 2 + C = 0$ .

$- 2 + C = 0$

$B = - 2$

$A = - 2$

Etapa 1.3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$C = 2$

$B = - 2$

$A = - 2$

$C = 2$

$B = - 2$

$A = - 2$

Etapa 1.3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = 2 B = - 2 A = - 2$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$C = 2, B = - 2, A = - 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x} + \frac{2}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 5.2

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 5.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- 2 (- x^{- 1} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 12

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 12.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- 2 (- x^{- 1} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{2}{x} - 2 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$\frac{2}{x} - 2 \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 2 |) + C$