Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x (x - 1)$ . Depois, $d u = (2 x - 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x (x - 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x + x - 1$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $x$ e $x$ .

$2 x - 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$