Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 5 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $25$ de $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $5 \tan (t)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $5$ de $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2.4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Etapa 3.2.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Etapa 3.2.2.6

Some $1$ e $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Etapa 4

Como $125$ é constante com relação a $t$ , mova $125$ para fora da integral.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $125$ por $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Etapa 5.2

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Etapa 5.3

Reescreva ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 7

Deixe $u = \tan (t)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \tan (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\tan (t)$ em relação a $t$ é $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 11.2

Simplifique.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x}{5})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ é $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{5}$ e $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.10

Multiplique $\frac{x + 5}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.11

Multiplique $5$ por $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.12

Reescreva $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Etapa 13.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.12.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.1.14

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Etapa 13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 13.4.1

Fatore $5$ de $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.4.3

Reescreva a expressão.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.5.1

Fatore $3$ de $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.5.2

Cancele o fator comum.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Etapa 13.5.3

Reescreva a expressão.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$