Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $1$ e em $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Etapa 4.2.3

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.2.6.5

Avalie o expoente.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 1 + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$0.41421356 \dots$