Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} 2 \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Como a derivada de $\sec (x)$ é $\sec (x) \tan (x)$ , a integral de $\sec (x) \tan (x)$ é $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\sec (x)$ em $\frac{3 π}{4}$ e em $\frac{- π}{4}$ .

$2 ((\sec (\frac{3 π}{4})) - \sec (\frac{- π}{4}))$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\sec (\frac{3 π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$2 (- \sec (\frac{π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (- \frac{π}{4}))$

Etapa 4.1.3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{7 π}{4}))$

Etapa 4.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{π}{4}))$

Etapa 4.1.5

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$

Etapa 4.5

Multiplique $2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 5.65685424 \dots$