Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Etapa 4

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{5 π}{4}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\sin (x)$ em $\frac{5 π}{4}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.4.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.6

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 5.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 5.3.7.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Etapa 5.3.8

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Etapa 5.3.8.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Etapa 5.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Etapa 5.3.10

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Etapa 5.3.11

Para escrever $\sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.3.12

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 5.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 5.3.14

Reordene os fatores de $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.15

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 6.2.4

Divida $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$